Topologen möchten Methoden haben, zu unterscheiden, ob sich zwei topologische Räume ähneln oder nicht. Die stärkste Form von Ähnlichkeit in der Topologie ist Hömöomorphie, eine schwächere Form ist Homotopieäquivalenz. Man sucht also nach Invarianten, die für zwei ähnliche Räume dasselbe Ergebnis liefern.

Homologie- und Kohomologiegruppen sind Invarianten, die aus mehreren Gründen wichtig sind: Zum einen sind sie vergleichsweise gut zu berechnen. Man zerlegt den topologischen Raum in Zellen und berechnet die Homologie (oder Kohomologie) aufgrund des Wissens, wie diese Zellen zusammengeklebt sind. Mit Hilfe dieser Informationen konstruiert man ein rein algebraisches Konstrukt, einen Kettenkomplex. Mit diesen Kettenkomplexen kann man rein algebraisch rechnen. Der zweite Grund dafür, dass Homologie und Kohomologie wichtig sind, liegt darin, dass Abbildungen zwischen Räumen immer Abbildungen auf ihren Homologie- bzw. Kohomologiegruppen induzieren. Mit Hilfe dessen können weitere Invarianten definiert und untersucht werden. Der dritte Grund liegt in der Allgemeinheit dieses Konzepts. Vor allem die Kohomologie ist ein Werkzeug, das in fast allen geometrischen Disziplinen eine grundlegende Rolle spielt.

In diesem Seminar wollen wir de Rham-Kohomologie einführen und untersuchen. Diese Kohomologietheorie wird mit Hilfe von Differentialformen definiert. Sie spielt in der Topologie und der Differentialgeometrie eine tragende Rolle. Wir werden einige der wichtigsten Eigenschaften einer Kohomologietheorie für de Rham-Kohomologie beweisen.

Homologie und Kohomologie werden in der Vorlesung Algebraische Topologie von Prof. Cisinski genau und allgemein behandelt. Seminar und Vorlesung können gut zusammen besucht werden, das Seminar allein zu besuchen, ist aber auch sehr sinnvoll.

Raoul Bott, Loring W. Tu, "Differential Forms in Algebraic Topology", Springer 1982

Max Karoubi, Christian Leruste, "Algebraic topology via differential geometry", Cambridge Univ. Press 1989

Das Seminar richtet sich an Studierende im dritten oder vierten Studienjahr. Analysis 4 und/oder kommutative Algebra gehört zu haben, ist von Vorteil.

• Organisational meeting/distribution of topics: Montag, 24. Juli um 15:00 Uhr in M201.

• Presentation: Giving a seminar talk of roughly 90 minutes

• Detailed written report of the seminar talk

• Benotet:
  • O. g. Studienleistung und o. g. Prüfungsleistung; die Note ergibt sich aus dem Seminarvortrag
• Unbenotet: