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Das Yamabe-Problem/The Yamabe problem SemesterSoSe 2018 Lecturer Bernd Ammann Type of course (Veranstaltungsart) Vorlesung Contents For English informations we refer to the web page of the lecture. Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ up. Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern. Das Ziel der Vorlesung ist es, zu erklären, wie dieses Problem von Schoen und Yau in den 80er-Jahren gelöst wurde. Die Vorlesung beginnt mit einer kurzen Einführung in benötigte Hilfsmittel aus der Geometrie und aus den partiellen Differentialgleichungen. Wir wandeln das Problem dann in eine partielle Differentialgleichung obigen Typs um und lösen dann die obige Gleichung unter Annahme der "Yamabe-Ungleichung". Um die Yamabe-Ungleichung zu zeigen, benötigt man letztendlich den Satz von der positiven Masse (Schoen/Yau) aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Man assoziiert hierbei gutartigen asymptotisch flachen Räumen (Modelle für Sterne, schwarze Löcher oder sonstige Materie-Ansammlungen) eine Gesamtmasse und zeigt deren Positivität. Die Vorlesung wird in wesentlichen Teilen recht ähnlich wie das unten verlinkte Skript von C. Bär aufgebaut sein.
Mehr Details werden auf der Homepage gegeben.
Recommended previous knowledge Eigentlich wird nicht mehr als Analysis I-IV und Lineare Algebra I und II und etwas Funktionalanalysis benötigt. Benötigte Hilfsmittel aus Differentialgeometrie und partiellen Differentialgleichungen werden in den ersten 4-5 Wochen erklärt. Um Studierenden im 3. Bachelor-Jahr oder 1. Master-Jahr den Einstieg zu erleichtern, bieten wir Hilfe im Rahmen einer Zentralübung, die im ersten Teil des Semesters stattfindet.
Mehr Details werden noch auf der Homepage gegeben.
BV, MV, MGAGeo, MAngAn ECTS 9 |