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Yamabe-Problem and positive mass theorem SemesterWiSe 2018 / 19 Lecturer Bernd Ammann Type of course (Veranstaltungsart) Vorlesung Contents Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit M mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ up. Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern. Wir haben im Sommerseester gesehen, dass das Problem eine Lösung besitzt, falls die Yamabe-Konstante von M kleiner als die Yamabe-Konstante der runden Sphäre ist. Wir zeigen nun, dass diese Bedinung immer erfüllt ist, sobald M nicht konform äquivalent zu einer runden Sphäre ist.
Ein wichtiger Bestandteil des Beweises ist das Theorem der positiven Masse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dieses besagt anschaulich gesprochen, dass die Gesamtmasse eines Raums mit nicht-negativer Massendichte nie negativ sein kann. Hinter diesem mathematisch zu präzisierenden Satz steckt ein wichtiges mathematisches Theorem, das in voller Allgemeinheit erst in den letzten Jahren gezeigt werden konnte.
Recommended previous knowledge Profound knowledge about geometric analysis on riemannian manifolds, as e.g. taught in my lecture on the Yamabe problem in the summer term 2018. Detailed lecture notes are on this lecture's web page. Time/Date Mo 10-12 Location M103 Course homepage http://www.mathematik.uni-regensburg.de/ammann/lehre/2018w_yamabe/ (Disclaimer: Dieser Link wurde automatisch erzeugt und ist evtl. extern) Registration
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