Sind die Funktionen nicht mehr periodisch, aber im Unendlichen ausreichend schnell abfallend (bzw. nicht schnell wachsend), so kann man eine ähnliche Konstruktion durchführen, die man Fourier-Transformation nennt. Sie bildet schnell abfallend glatte Funktion Rⁿ-> R auf Funktionen des selben Typs ab.
Führt man sie zweimal durch (mit einer kleinen Modifikation), so erhält man die ursprüngliche Funktion zurück. In der Wellenmechanik oder Quantenphysik kann man hierdurch vom Ortsbild zum Impulsbild und zurück transformieren. Ist ψ:R³->C eine zugehörige Wellenfunktion im Ortsraum, so ist die Fourier-Transformierte von ψ die Wellenfunktion im Impulsraum. Man kann hieraus unter anderem die Heisenbergsche Unschärfe-Relation herleiten, die sich aber zum Beispiel auch in der Akustik bemerkbar macht: Die Frequenzverteilung eines kurzen Tons (sagen wir t=0,1 Sekunden lang) muss eine Mindestbreite von ungefähr 1/t=10 Herz haben.

Funktionen wie x-> e^ix haben zwar noch eine Fourier-Transformation, diese ist aber keine Funktion im klassischen Sinn mehr, sondern eine Distribution. Die Distributionen ergeben auch eine hilfreiche Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs. In diesem verallgemeinerten Raum können zum Beispiel beliebige stetige Funktionen beliebig oft differenziert werden. Dies ist ein starkes Hilfsmittel zur Lösung partieller Differentialgleichungen in der Angewandten Mathematik und Geometrischen Analysis, das in Anwendungen wie der Physik häufig benutzt wird, dort allerdings zumeist ohne die mathematischen Grundlagen vollständig zu entwickeln.

Distributionen sind auch hilfreich, um geeignete Differentialoperatoren zu invertieren, was unter anderem zu Greenschen Funktionen führt. Deren Anwendungen wiederum reichen hinein bis in die Arakelov-Theorie, einem Teilgebiet der Arithmetischen Geometrie.

Teilnehmer(innen)
Das Seminar richtet sich in erster Linie an die Studierenden, die bei mir im Wintersemester die Analysis III gehört haben. Es kann gut als erster Einstieg in eine Bachelor-Arbeit genutzt werden. Das Seminar ist aber auch für andere Studierende offen. Wir erlernen im Seminar Hilfsmittel, die in den meisten Forschungsgebieten der Regensburger Mathematik benutzt werden. Für Studierende des gymnasialen Lehramts ist das Seminar dann zu empfehlen, wenn besonderes Interesse an den oben genannten physikalisch-technischen Anwendungen besteht.

Literature
R. Strichartz; A guide to distribution theory and Fourier transforms
Weitere Literatur: siehe Programm auf der Seminar-Webseite

Recommended previous knowledge
Analysis I und II, Lineare Algebra I

Time/Date
Di 16-18

Location
M101

Course homepage
http://www.mathematik.uni-regensburg.de/ammann/lehre/2020s_fourier/
(Disclaimer: Dieser Link wurde automatisch erzeugt und ist evtl. extern)

Registration

• Organisational meeting/distribution of topics: Vorbesprechung und Verteilung der Vorträge
  am Do 6.2., 13:15 Uhr im Sitzungszimmer Mathematik, M201
• Registration for course work/examination/ECTS: FlexNow

• Presentation: Giving a seminar talk of roughly 90 minutes

• Detailed written report of the seminar talk

• Benotet:
  • O. g. Studienleistung und o. g. Prüfungsleistung; die Note ergibt sich aus dem Seminarvortrag
• Unbenotet:
  • O. g. Studienleistung