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Primzahlen der Form x²+ny² SemesterSoSe 2022 Dozent/in Lukas Prader Veranstaltungsart Seminar Englischer Titel Primes of the form x²+ny² Inhalt Dieses Seminar, das sich an Lehramtsstudierende sowie an Bachelorstudierende in frühen Semestern richtet, soll eine spielerische Einführung in die algebraische Zahlentheorie geben. Unser Leitmotiv wird die folgende Problemstellung sein: Gegeben sei eine natürliche Zahl n. Welche Primzahlen p kann man dann in der Form p=x²+ny² for ganze Zahlen x und y schreiben? Im Falle n=1 gibt es eine sehr elegante Antwort: Es ist 2=1²+1², und eine ungerade Primzahl p lässt sich genau dann als p=x²+y² für ganze Zahlen x und y schreiben, wenn p bei Division durch 4 den Rest 1 lässt (oder professioneller ausgedrückt: wenn p kongruent zu 1 modulo 4 ist). Je größer man n wählt, desto komplizierter scheinen diese Gesetzmäßigkeiten aber zu werden. -- Was steckt dahinter? Motiviert durch jene Fragestellung (die übrigens auf den französischen Mathematiker Pierre de Fermat zurückgeht) werden wir uns im Seminar die Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie erarbeiten. Besonderen Wert möchte ich hierbei auf die folgenden beiden Lernziele legen: -- Obwohl in der obigen Problemstellung ausschließlich ganze Zahlen auftreten, ist der Ring Z der ganzen Zahlen "nicht der richtige Ort", um die Frage zu beantworten. Stattdessen müssen wir von Z zu einer Ringerweiterung (d.h., zu einem größeren Ring) übergehen. Für n=1 sollte man z.B. den Ring Z[i] der Gaußschen ganzen Zahlen, bestehend aus allen komplexen Zahlen der Form a+bi für ganze Zahlen a und b, betrachten. Warum gerade Z[i]? -- In diesem Ring faktorisiert x²+y²=(x+iy)(x-iy). Im Seminar werden wir anhand vieler Beispiele lernen, was bei der Wahl dieser Ringerweiterungen zu beachten ist, und welche Gefahren sie mit sich bringen (z.B. funktionieren Argumente, die von eindeutiger Primfaktorzerlegung Gebrauch machen, dann i.A. nicht mehr). -- Wir werden sehen, dass sich jeder solchen Ringerweiterung eine endliche abelsche Gruppe zuordnen lässt (für Experten: die Idealklassengruppe des zugehörigen Zahlkörpers), die man als Maß dafür betrachten kann, wie schwierig es ist, in dieser Ringerweiterung Zahlentheorie zu betreiben. Zum Beispiel: Ist die Gruppe trivial (d.h., bestehend aus einem einzigen Element), so verhält sich die Ringerweiterung fast wie Z, hat also ausgezeichnete Eigenschaften. Im Seminar werden wir (z.B. anhand der obigen Problemstellung) erkennen, dass sich merkwürdige Verhaltensmuster unter den ganzen Zahlen oft auf jene geheimnisvolle Gruppe zurückführen lassen. Unser Ziel wird es schließlich sein zu lernen, wie man Eigenschaften dieser Gruppe nützen kann, um Resultate über ganze Zahlen zu beweisen. Je nach Anzahl und Vorkenntnissen der teilnehmenden Studierenden könnten wir gegen Ende des Seminars außerdem besprechen, wie man durch den Einsatz analytischer Methoden (speziell durch Zeta- und L-Funktionen) zahlentheoretische Erkenntnisse erlangen kann. Mein Plan ist, dieses Seminar geblockt innerhalb der letzten beiden Semesterferien-Wochen (d.h., im Zeitraum 11.04.-24.04.) zu veranstalten. Die Seminar-Vorbesprechung findet am Freitag, dem 28. Januar, von 9 bis 10 Uhr (s.t.) via Zoom statt; die Meeting-ID lautet 637 9871 3793, das Passwort ist 235711. Falls Sie Interesse an der Teilnahme haben, können Sie mich auch gerne vorab per E-Mail kontaktieren: lukas.prader "at" ur.de GRIPS-Seite des Seminars: https://elearning.uni-regensburg.de/course/view.php?id=54373 Literaturangaben Einen ersten Eindruck gibt Ihnen das Buch Winfried Scharlau, Hans Opolka: Von Fermat bis Minkowski. Eine Vorlesung über Zahlentheorie und ihre Entwicklung (Der Besitz dieses Buchs ist für die Seminar-Teilnahme nicht erforderlich.)
BSem, LA-GySem ECTS BSem und MSem: 4,5 LP bei Studienbeginn ab WS 15/16, 6 LP bei Studienbeginn vor WS 15/16. LA-GySem: 6 LP. MV und Nebenfach: 4,5 LP bei Studienbeginn ab WS 15/16, 6 LP bei Studienbeginn vor WS 15/16 +++ weitere Details: siehe Modulkatalog +++ |