Riemannsche Flächen sind reell zwei-dimensionale Mannigfaltigkeiten versehen mit einer komplexen Struktur. Die kompakten riemannschen Flächen ohne Rand sind homöomorph zur 2-dimensionale Sphäre, dem 2-dimensionalen Torus, sowie zu Flächen höheren Geschlechts. Ursprünglich wurden die riemannschen Flächen von Riemann eingeführt, um das Problem der Mehrdeutigkeit bei der analytischen Fortsetzung gewisser holomorpher Funktionen wie der Wurzelfunktion oder des komplexen Logarithmuses zu studieren, indem der Definitionsbereich geeignet erweitert wird, so dass man Eindeutigkeit erhält.

Wegen der komplexen Struktur auf riemannschen Flächen ist es möglich, diese mit Methoden der Funktionentheorie zu studieren. So gibt es holomorphe oder meromorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen, und einige Sätze der Funktionentheorie verallgemeinern sich. Gleichzeitig besitzen sie im Allgemeinen nicht-triviale Topologie, und die Geschlechter der Flächen hängen mit Abbildungsgraden bzw. Vielfachheiten der holomorphen Abbildungen zwischen Ihnen zusammen.

Die Theorie der riemannschen Flächen verknüpft algebraische, komplex-analytische und topologische Methoden. Sie stellt eine interessante und noch gut verständliche Klasse von Objekten dar. Anwendungen der Theorie der Riemannschen Flächen reichen von Differentialgeometrie über algebraische Geometrie bis hin zur analytischen Zahlentheorie.

Riemannsche Flächen

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