Eine leichte Einführung in die Theorie komplexer elliptische Kurven und Modulformen auf der Grundlage Funktionentheorie.

In diesem Seminar lernen wir Gitter in der komplexen Ebene und spezielle damit verbundene Funktionen kennen, die als elliptische Funktionen bezeichnet werden. Zu diesen doppelt periodischen Funktionen gehören die Eisenstein-Reihe und die berühmte Weierstrass-p-Funktion. Letzteres ermöglicht es uns, eine Äquivalenz zwischen elliptische Kurven und komplexen Tori (oder komplexen Donuts) als Riemannsche Flächen zu zeigen. Daraus werden wir sehen, dass diese elliptische Kurven eine erstaunliche Eigenschaft haben: Man kann auf interessante Weise Punkte in der Kurve addieren und eine Gruppe bilden! Diese Eigenschaft macht elliptische Kurven für mehrere Bereiche der Mathematik und darüber hinaus, einschließlich der Kryptographie, sehr wichtig.

Eine andere Art von Spezialfunktionen, die eng mit elliptische Kurven verwandt sind, sind die Modulformen. Die nächsten Vorträge des Seminars stellen sie vor und zeigen ihren Zusammenhang mit elliptische Kurven auf: Wir lernen die Modulgruppe, verschiedene Eigenschaften und Beispiele von Modulformen und den Raum ganzer Modulformen kennen. Zum Abschluss zeigen wir die Macht Modulformen, indem wir ein fantastisches Ergebnis aus der Zahlentheorie beweisen: jede natürliche Zahl ist die Summe von 4 Quadraten ganzer Zahlen.

Den Teilnehmern dieses Seminars wird außerdem empfohlen, die Vorlesung "Riemannsche Flächen" zu besuchen. Dieses Seminar ist für Lehramtsstudierende geeignet.

• Vorbesprechung/Themenvergabe: Donnerstag, 09.02.2023, 14.00 Uhr im M103 oder per Email an
  Julio.de-Mello-Bezerra"at"mathematik.uni-regensburg.de
• Bitte melden Sie sich für das Seminar in GRIPS an
  https://elearning.uni-regensburg.de/course/view.php?id=60012
• Anmeldung zu Studienleistungen/Prüfungsleistungen: FlexNow

• Referat: Halten eines Seminarvortrags von ca. 90 Minuten

• Schriftliche Ausarbeitung des Seminarvortrags