Ähnlich wie die Dezimalentwicklung ist die "Kettenbruchentwicklung" eine Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen. Gerade in arithmetischen Fragestellungen erweist sie sich oft als vorteilhaft: So ist eine reelle Zahl genau dann rational, wenn ihre Kettenbruchentwicklung abbricht, und genau dann Nullstelle eines quadratischen Polynoms mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen, wenn ihre Kettenbruchentwicklung (abbricht oder) periodisch wird.

In diesem Seminar werden wir uns zunächst die Grundlagen der Theorie der Kettenbrüche erarbeiten, um jene anschließend auf Fragen der diophantischen Approximation, d.h., der Lehre der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen, anzuwenden. Die folgenden vier Punkte mögen Ihnen einen ersten Eindruck vermitteln sowie Ihre Neugierde wecken. :)

- Die Schaltjahrregeln des gregorianischen Kalenders besagen, dass es alle 4 Jahre ein Schaltjahr gibt, aber dass alle 100 Jahre ein Schaltjahr entfällt. Mithilfe von Kettenbrüchen können wir plausibel machen, wie es zu dieser Regelung gekommen ist.

- Ein Zaubertrick: Wählen Sie zwei positive, ganze Zahlen; nennen wir sie x(0) und x(1). Berechnen Sie nun x(2):=x(0)+x(1), x(3):=x(1)+x(2), x(4):=x(2)+x(3), usw., bis Sie x(10) erreichen. Abschließend dividieren Sie x(10) durch x(9) und runden auf zwei Nachkommastellen. Ich gehe jede Wette mit Ihnen ein, dass Sie 1,62 als Ergebnis erhalten werden. Woher ich das weiß? - Kettenbrüche!

- Angenommen wir laufen entlang einer Kreislinie der Länge 1. Wenn jeder unserer Schritte die Länge 1/12 hat, dann erhalten wir eine Uhr, d.h., 12 regelmäßig verteilte Punkte auf der Kreislinie. Was passiert aber, wenn unsere Schrittlänge durch eine irrationale Zahl wie etwa sqrt(2) oder Pi gegeben ist? -- Anhand dieser Fragestellung können wir wunderbar das Konzept einer "gleichverteilten Folge" illustrieren.

- Im Seminar werden wir alle (unendlich vielen) Lösungen der Pellschen Gleichung X²-2Y²=1 bestimmen (wobei X und Y ganze Zahlen sein sollen), zum Beispiel (X,Y) = (3,2); (17,12); (99;70); usw. Hier fällt etwas Interessantes auf: Berechnet man die Quotienten X/Y, also 3/2 = 1,5; 17/12 = 1,41666...; 99/70 = 1,41428...; usw., so scheint sich diese Folge der Zahl sqrt(2) = 1,414213... anzunähern. Tatsächlich liegt das daran, dass -2 als Koeffizient in unserer Gleichung auftritt; wieder einmal sind Kettenbrüche ein Schlüssel zum Verständnis.

Mein Plan ist, dieses Seminar geblockt an 1-2 Tagen in der Woche vor Beginn des Sommersemesters zu veranstalten. Die Seminar-Vorbesprechung findet am Freitag, dem 12. Februar, von 9 bis 10 Uhr (s.t.) via Zoom statt; die Meeting-ID lautet 817 6436 0092. Falls Sie Interesse an der Teilnahme haben, können Sie mich auch gerne per E-Mail kontaktieren: lukas.prader@ur.de

• Vorbesprechung/Themenvergabe: Vorbesprechung am 12.02.2021. Zeit und Meeting-ID finden Sie
  oben.
• Falls Sie Interesse an der Teilnahme haben, können Sie mich auch gerne per E-Mail
  kontaktieren: lukas.prader@ur.de
• Anmeldung zu Studienleistungen/Prüfungsleistungen: FlexNow

• Referat: Halten eines Seminarvortrags von ca. 90 Minuten

• Schriftliche Ausarbeitung des Seminarvortrags

• Benotet:
  • O. g. Studienleistung und o. g. Prüfungsleistung; die Note ergibt sich aus der Prüfungsleistung
• Unbenotet:
  • O. g. Studienleistung und Bestehen der o. g. Prüfungsleistung